Homologia de Interseção e aplicações holomorfas finitas

Resumo

Na área de topologia, a homologia de interseção, desenvolvida por Marc Goresky e Robert MacPherson em 1974, é uma ferramenta fundamental para investigar espaços singulares, proporcionando uma abordagem complementar à homologia singular. Enquanto a homologia singular é aplicável a espaços regulares, a homologia de interseção é adaptada para lidar com singularidades, introduzindo ciclos "permissíveis" que preservam a noção de interseção mesmo em espaços irregulares.A dualidade de Poincaré, um conceito essencial na topologia, tradicionalmente interpretada através da teoria da interseção, estabelece uma relação fundamental entre os grupos de homologia de uma variedade compacta, orientada e conexa e suas dimensões. No entanto, quando a variedade apresenta singularidades, como pontos múltiplos, essa interpretação torna-se problemática.Por outro lado, as sequências espectrais são uma poderosa ferramenta matemática utilizada em diversas áreas, incluindo topologia algébrica, álgebra homológica e geometria algébrica, para decompor objetos complexos em elementos mais simples e calcular grupos de homologia de espaços topológicos.Conjuntos de pontos múltiplos de aplicações finitas desempenham um papel importante em várias áreas da matemática, desde geometria algébrica até teoria dos números. Eles surgem naturalmente ao considerar as propriedades das imagens de aplicações entre espaços topológicos e são cruciais para entender a estrutura e o comportamento dessas aplicações.O projeto científico proposto visa explorar de maneira abrangente e sistemática os conjuntos de pontos múltiplos de aplicações finitas, utilizando tanto a homologia de interseção quanto as sequências espectrais. O objetivo é desenvolver métodos para uma análise topológica detalhada desses conjuntos, contribuindo para o avanço do conhecimento matemático em várias áreas.